有限数学示例

$f (x) = x^{2} - 4 x - 9$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 写为等式。

$y = x^{2} - 4 x - 9$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{2} - 4 y - 9$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{2} - 4 y - 9 = x$ 。

$y^{2} - 4 y - 9 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y^{2} - 4 y - 9 - x = 0$

解题步骤 3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - 9 - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 9 - x$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $- 4$ 中减去 $9$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 4 (- 13 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ 。

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解题步骤 3.5.1.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4.3

添加圆括号。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ 。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 3.6.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 9 - x$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

从 $- 4$ 中减去 $9$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $- 4 (- 13 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ 。

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解题步骤 3.6.1.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.3

添加圆括号。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ 。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 3.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 3.7.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 9 - x$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.3

从 $- 4$ 中减去 $9$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4

将 $- 4 (- 13 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ 。

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解题步骤 3.7.1.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.4.3

添加圆括号。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ 。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 3.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ 是否为 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 和 $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 13, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- 1 (- 13 - x) \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- 1 (- 13 - x) \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $- 1 (- 13 - x) \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 1 (- 13 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{- 13 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

用 $- 13 - x$ 除以 $1$ 。

$- 13 - x \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$- 13 - x \leq 0$

解题步骤 5.3.2.2

在不等式两边同时加上 $13$ 。

$- x \leq 13$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- x \leq 13$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $- x \leq 13$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{13}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{13}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{13}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.3.1

用 $13$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 13$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 13, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ 的定义域为 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ 的值域又为 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ 为 $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

解题步骤 6

有限数学 示例

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